Euler pour le rebond de balles en 2D

En SII, la modélisation d'un système physique passe souvent par l'écriture d'équations différentielles issues du Principe Fondamental de la Dynamique. Résoudre ces équations analytiquement est rarement possible dès que le système devient complexe : c'est précisément là qu'intervient la simulation numérique.

Ce TP propose de construire pas à pas un simulateur de balles en 2D, en s'appuyant sur la méthode d'Euler. Cette méthode d'intégration numérique est au coeur des logiciels de simulation industriels (SolidWorks Motion ou Méca3D, Matlab/Simulink, etc.).

Le travail s'articule en trois étapes :

- Modélisation des efforts : traduire les contacts (balle/bord, balle/balle) en forces élastiques, comme on modéliserait un ressort de contact dans une liaison mécanique.

- Intégration numérique (Euler) : mettre à jour les accélérations, vitesses et positions à chaque pas de temps, à la manière d'un solveur dynamique.

- Visualisation : animer la simulation pour valider qualitativement le comportement du modèle, étape indispensable en bureau d'études avant tout prototypage physique.

Nous allons donc mettre en place un code simple permettant de simuler le mouvement de « balles » en tenant compte de chocs élastiques avec les contours d’un domaine rectangulaire et avec les autres balles. Nous ne tiendrons compte d’aucune dissipation énergétique et considérerons que la masse des balles est proportionnelle à leur rayon, autrement dit, ce sont plutôt des « palets » plats. Nous ne chercherons pas non plus à optimiser le code (en particulier sur les interactions entre balles). L’objectif est de vous proposer une méthode de résolution numérique simple qui permettra d’aller plus loin en TIPE par exemple.