\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
 \usepackage[]{graphicx}
   \usepackage {multicol}
   \usepackage {multirow}
 %  \usepackage {palatino}
   \usepackage {relsize}
   \usepackage{ifthen}
   \usepackage{color}
\usepackage{ulem}
\usepackage{amsmath,amsfonts}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
 %  \usepackage{wrapfig}
\usepackage{caption}

%\usepackage{arial}
\renewcommand\familydefault{\sfdefault}
%\usepackage{helvet}


\textwidth = 17cm
\textheight = 25.9cm
\oddsidemargin = -0.5cm
\evensidemargin = -0.5cm
\topmargin = -2.2cm
%\footskip = 0.8cm

%Choix xmac ou xlinux
%\immediate\write18{marc=$(whoami); if test $marc = marc; then cp xlinux.tex test.tex; else cp xmac.tex test.tex; fi}                                                                
%\input{test}
%\include{xlinux}
%\include{xmac}

% \textwidth = 17cm
% \textheight = 250mm
% \oddsidemargin = -5.0mm
% \topmargin = -2.6cm
%\pagestyle{empty}
\makeatletter
\renewcommand{\fnum@figure}{Figure~\thefigure}
\makeatother


\newcommand{\torseur}[3]{\begin{array}{r}
 \\ \\ #1 \end{array}\!\!\!\!
\left\{\begin{array}{c}
 #2\\ #3 \end{array} \right\} }
\newcommand{\Torseur}[2]{\left \{\ensuremath \mbox{\relsize{2}{$\mathcal #1$}\relsize{-2}#2} \right \}}
\newcommand{\Torseurindice}[3]{\left \{\ensuremath \mbox{\relsize{2}{${\mathcal #1}^{#2}_{\mbox{\small #3}}$}\relsize{-2}} \right \}}
\newcommand{\ignorer}[1]{}
\renewcommand{\Vec}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newenvironment{disarray}%
 {\everymath{\displaystyle\everymath{}}\array}%
 {\endarray}
\newcommand{\conti}{\ensuremath{\mbox{\relsize{2}${\sigma\kern-.55em{\sigma}}$\relsize{-2}}}}
\newcommand{\epsdi}{\ensuremath{\mbox{\relsize{2}$\mathbf{\varepsilon\kern-.43em{\varepsilon}}$\relsize{-2}}}}
\def\cont{{\rm \kern.26em
                     \vrule width.04em height1.10ex depth-0.00ex
                     \kern-.26em \mbox{\relsize{2}$\sigma$\relsize{-2}}}}
\def\epsd{{\rm \kern.23em
                     \vrule width.02em height1.25ex depth-.05ex
                     \kern-.23em 
 \mbox{\relsize{2}$\mathbf{\varepsilon}$\relsize{-2}}}}

\newcommand{\doubler}[2]{\ensuremath{\mbox{\relsize{0}${#2\kern-#1em{#2}}$\relsize{-0}}}}
\newcommand{\Ma}{M\!a}


\newcounter{thequestion}
\newcommand{\objectif}[1]{{\sl {\bf Objectif : } #1}
}
\newcommand{\question}[1]{{\refstepcounter{thequestion}\bf Question \arabic{thequestion} : \sl #1}
}
\newcommand{\definition}[2]{\bigskip{\noindent\hspace*{1cm}\bf #1}

\nopagebreak[4]\hspace*{1cm}\begin{tabular}{|l}\begin{minipage}[t]{15cm}#2\end{minipage}\end{tabular}\bigskip

}
\definecolor{darkred}{rgb}{0.8,0,0}
\newcommand{\revoir}[1]{{\color{darkred}#1}}
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
\newcommand{\valider}[1]{{\color{darkgreen}#1}}    %{\color{darkgreen}#1}}
%\renewcommand{\revoir}[1]{#1}
%\renewcommand{\valider}[1]{#1}

%\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}

\usepackage{epstopdf}

\graphicspath{{images/}}

% Compilation
%  latex sujet.tex; dvips -t a4 sujet.dvi; ps2pdf sujet.ps


 \begin{document}
\renewcommand{\tablename}{Tableau}
\begin{center}
{\huge\bf Compresseur centrifuge pour l'extraction pétrolière}
\end{center}

Les sociétés actuelles sont devenues dépendantes du pétrole. La consommation mondiale actuelle s'élève à plus de 30 milliards de barils par an (soit $4{,}6\ \rm km^3$). Cette énergie primaire n'est cependant pas inépuisable et les technologies se développent afin, d'une part, de trouver de nouveaux gisements et, d'autre part, d'optimiser l'extraction des puits actuellement exploités. En effet, seulement 35\% en moyenne de la quantité de pétrole disponible dans les réserves est extraite actuellement.


\begin{figure}[!!hbt]
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{Photo_plateforme_petroliere}
\caption{Plateforme pétrolière.\label{Photo_plateforme_petroliere}}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.46\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{Photo_compresseur_coupe}
\caption{Photographie d'un demi-cartouche de compresseur centrifuge équipé de l'arbre et des disques.\label{Photo_compresseur_coupe}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

Pour améliorer le taux d'extraction, une solution consiste à réaliser des forages com\-plé\-men\-tai\-res à une certaine distance du puits, et d'y injecter du gaz sous pression afin de pousser le pétrole vers le puits d'extraction. Cette solution nécessite un compresseur à très haute pression et très fort débit (et donc de très grande puissance, de l'ordre de plusieurs méga-Watt).

La société Thermodyn (GE -- Oil \& Gas) conçoit et fabrique des compresseurs centrifuges pour les applications pétrolières et gazières. On distingue généralement quatre familles d'applications nécessitant des compresseurs aux performances différentes :
\begin{itemize}
 \item les compresseurs de tête de réseau chargés du transfert du gaz d'un puits vers le réseau, ces compresseurs travaillent à pression d'entrée et de sortie quasi-constantes, mais doivent s'adapter à un débit très variable ;
 \item les compresseurs de recompression sur les gazoducs chargés de compenser les pertes de charge régulières, ces compresseurs travaillent dans des conditions bien maitrisées mais doivent présenter un bon rendement ;
 \item les compresseurs d'injection et de soutirage chargés de gérer le stockage du gaz, ces compresseurs doivent admettre une gamme de pression et de débit très large ;
 \item les compresseurs de réinjection dans un gisement de pétrole (figure \ref{Photo_plateforme_petroliere}) chargés de pousser le pétrole vers le puits, ces compresseurs sont conçus pour de très hautes pressions et très forts débits.
\end{itemize}

Ce dernier type de compresseur fait l'objet de cette étude. On s'intéresse plus particulièrement à un compresseur centrifuge à 6 étages injectant $1\,400\ \rm m^3\cdot h^{-1}$ de gaz à $380\ \rm bar$ dans le puits (figure \ref{Photo_compresseur_coupe}). L'arbre est mis en rotation à des vitesses de l'ordre de $11\,000\ \rm tr\cdot min^{-1}$. Le gaz est comprimé dans chaque disque par effet centrifuge, puis ralenti dans un diffuseur avant d'être à nouveau comprimé dans l'étage suivant (figure \ref{schema_coupe_compresseur}).



\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,angle=0]{schema_coupe_compresseur}
\end{center}
\caption{Schéma du compresseur multi-étagé en coupe.}
\label{schema_coupe_compresseur}
\end{figure}

%L'étude proposée vise à déterminer quelques paramètres dimensionnants du compresseur, par une modélisation des phénomènes mécaniques présents.
\pagebreak[5]
Le sujet propose au candidat de mobiliser ses compétences pour dimensionner les caractéristiques du compresseur en fonction des niveaux de performance à atteindre. Il se décompose en quatre parties :
\begin{itemize}
 \item partie 1, dimensionner la géométrie du compresseur permettant d'assurer la compression (diamètres des disques et de l'arbre, nombre de disques, etc) ;
 \item partie 2, spécifier la solution d'assemblage des disques sur l'arbre ;
 \item partie 3, valider le comportement vibratoire dans la plage de fonctionnement du compresseur ;
 \item partie 4, valider l'encombrement radial assurant un compromis raisonnable avec le rendement.
\end{itemize}



Le tableau \ref{CdC_init} donne un extrait du cahier des charges auquel doit répondre le compresseur, auquel s'ajoutent les contraintes technologiques importantes pour le dimensionnement :
\begin{itemize}
 \item vitesse périphérique maximale des disques $250\ \rm m\cdot s^{-1}$ ;
 \item vitesse optimale de l'écoulement en sortie de disque comprise entre  ${\rm Mach}\ 0{,}3$ et ${\rm Mach}\ 0{,}5$.
% \item Glissement de l'ordre de $\mu_G=0{,}5$ \revoir{(défini par la suite)}.
\end{itemize}


\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|l|p{5.3cm}|p{6cm}|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\bf Fonction de service}& \multicolumn{1}{c|}{\bf Critère}& \multicolumn{1}{c|}{\bf Niveau}\\ \hline
\multirow{3}{4.5cm}{FP1 : mettre en pression le gaz}
&Débit de gaz en entrée &  $90{,}3\ \rm kg\cdot s^{-1}$ \\ \cline{2-3}
&Pression du gaz en sortie & $380\ \rm bar$ \\ \cline{2-3}
&Composition du gaz & $CH_4$ (80\%), $CO_2$ (10\%), Propane (5\%) et Butane (5\%)\\ \hline
\multirow{3}{4.5cm}{FC1 : limiter le coût d'achat et d'exploitation }
&Complexité de l'installation&Minimale \\ \cline{2-3}
&Rendement global&$>0{,}6$ \\ \cline{2-3}
&Durée de vie&20 ans en fonctionnement continu \\ \cline{2-3}
 \hline

\multirow{3}{4.5cm}{FC2 : s'adapter au site }
&Température d'entrée du gaz& $40°C$ \\ \cline{2-3}
&Pression du gaz en entrée & $140\ \rm bar$ \\ \cline{2-3}
&Température de sortie du gaz& $<250°C$ \\ \cline{2-3}
 \hline

\end{tabular}

\caption{Extrait du cahier des charges fonctionnel.}
\label{CdC_init}
\end{table}



% La première partie vise à caractériser la transformation thermodynamique afin de déterminer le diamètre du disque, la puissance nécessaire et le diamètre de l'arbre.
% 
% La seconde partie s'intéresse aux limites de tenue du disque fretté sur l'arbre.
% 
% La troisième partie permettra de déterminer les modes de vibration du rotor et d'en déduire la plage de vitesse acceptable.
% 
% La quatrième partie s'intéresse au dimensionnement du diffuseur et permettra de trouver un compromis entre encombrement et rendement.



\pagebreak[5]

%\section{Thermodynamique de la compression}
\section{Dimensionnement de la géométrie du compresseur}

%\objectif{déterminer le nombre d'étages de compression nécessaires et le diamètre des disques, puis
%choisir entre une solution avec ou sans refroidissement intermédiaire.} 

\objectif{définir les éléments de dimensionnement majeurs du compresseur, c'est-à-dire le nombre d'étages de compression nécessaires et le diamètre des disques. Choisir l'implantation ou non d'un refroidissement intermédiaire.}

Dans cette partie, le gaz est considéré comme parfait, satisfaisant la relation $pv=rT$, où la constante spécifique du gaz vaut $r=332\ \rm J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}$. La chaleur spécifique à pression constante vaut $c_p=660\ \rm J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}$ et la chaleur spécifique à volume constant vaut $c_v= 412\ \rm J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}$, le rapport étant égal à $\gamma=c_p/c_v=1{,}6$.

On admet que, vu les sections des conduits, les vitesses d'entrée et de sortie d'étage valent $V_0=50\ \rm m\cdot s^{-1}$.

La pression est notée $p$, la masse volumique $\rho$, le volume massique $v$ et la température $T$.

Quelques relations pour les systèmes ouverts, en considérant une transformation $1\rightarrow 2$ quelconque, sont rappelées ci-dessous :

\paragraph{Premier principe :} $\displaystyle\Delta k_{12}+\Delta h_{12}=w_{1\rightarrow 2} + q_{1\rightarrow 2}$

où :
\begin{itemize}
 \item $\Delta k_{12}$ est la variation d'énergie cinétique ;
 \item $\Delta h_{12}$ la variation d'enthalpie ;
 \item $w_{1\rightarrow 2}$ le travail des parties mobiles ;
 \item $q_{1\rightarrow 2}$ la chaleur reçue par le gaz, fournie par les parois.
\end{itemize}

\paragraph{Théorème de l'énergie cinétique en référentiel mobile :} $$\displaystyle\frac{W_2^2-W_1^2}{2} - \frac{U_2^2-U_1^2}{2} + \int_1^2 \frac{dp}\rho + g(z_2-z_1) + \Delta_1^2 f_r=0$$

où :
\begin{itemize}
 \item $W$ est la vitesse dans le référentiel du disque ;
 \item $U$ la vitesse d'entraînement ;
 \item $\int \frac{dp}\rho$ le travail des forces de pression ;
 \item $gz$ le travail du poids (négligé) ;
 \item $\Delta_1^2 f_r$ la perte de charge, correspondant à l'énergie dissipée entre 1 et 2 (négligée).
\end{itemize}

\paragraph{Théorème d'Euler :} $$\displaystyle w_{1\rightarrow 2}=U_2V_{\theta 2}-U_1V_{\theta 1}$$

où :
\begin{itemize}
 \item $w_{1\rightarrow 2}$ est le travail des parties mobiles ;
 \item $U$ la vitesse d'entraînement ;
 \item $V_{\theta}$ la composante orthoradiale de la vitesse absolue.
\end{itemize}

\paragraph{Vitesse du son :} $V_{\rm son}=\sqrt{\gamma r T}$. Le nombre de Mach $\Ma$ est le rapport de la vitesse d'un gaz sur la vitesse du son dans le milieu.

$\vec U$ est la vitesse du disque à sa périphérie (figure \ref{disque}), $\vec V$ la vitesse absolue du gaz (par rapport au carter), $\vec W$ la vitesse relative du gaz (par rapport au disque) et $V_\theta$ la projection de $\vec V$ sur la direction orthoradiale, c'est-à-dire la direction de $\vec U$. De façon évidente, $\|\vec U\|=U$, $\|\vec W \|=W$.

% Quelques hypothèses : 
Pour simplifier l'étude, les aubes sont supposées radiales, c'est-à-dire qu'en l'absence de {\it glissement} ($\mu_G=1$), la vitesse orthoradiale absolue du gaz en sortie de disque $V_\theta$ est égale à celle du disque $U$. En réalité, des recirculations entre les aubes conduisent à une vitesse plus faible. Ce phénomène est caractérisée par le {\it glissement}, défini par $\mu_G=V_\theta/U$, de l'ordre de $\mu_G=0{,}5$.

L'arbre tourne à la vitesse $\Omega=11\,000\ \rm tr\cdot min^{-1}$.


\begin{figure}[!!hbt]
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{disque3}
\caption{Disque d'entraînement du gaz.\label{disque}}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = 0.6\linewidth]{compresseur_1etage}
\caption{Coupe d'un compresseur à 1 seul étage.\label{compresseur_1etage}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

\subsection{Cas de référence}
En premier lieu, le cas idéal de référence (figure \ref{compresseur_1etage}) d'une compression adiabatique isentropique, en un seul étage, entre l'entrée et la sortie, sans {\it glissement} en sortie de disque ($\mu_G=1$) est envisagé.

% \begin{figure}[!hbt]
% \begin{center}
% \includegraphics[width=4cm,angle=0]{compresseur_1etage}
% \end{center}
% \caption{Représentation d'un compresseur à 1 seul étage.}
% \label{compresseur_1etage}
% \end{figure}

$e-i$ désigne la transformation entre l'entrée et la sortie du disque, et $i-s$ la transformation entre l'entrée du diffuseur et la sortie. $p_e$, $T_e$, $\rho_e$, $p_s$, $T_s$ et $\rho_s$ sont respectivement les pressions, températures et masses volumiques en entrée et sortie d'étage. $Q_v$ et $Q_m$ sont les débits volumique et massique de gaz.

Les vitesses du gaz en entrée et en sortie, ainsi que la vitesse radiale, sont faibles devant la vitesse tangentielle en sortie de disque. En première approximation, ces quantités sont négligées.

\question{déterminer les conditions de sortie ($p_s$, $T_s$ et $\rho_s$) du gaz et déduire du premier principe la puissance fournie par l'arbre.}

%\question{Déterminer à l'aide du théorème d'Euler la vitesse périphérique du disque $U$ et le diamètre du disque $D_e$ permettant d'assurer cette transformation en un seul étage. 

\question{montrer que dans le cas où il n'y a pas de {\it glissement}, $w_{es}=U^2$, et en déduire le diamètre du disque $D_e$ permettant d'assurer cette transformation en un seul étage.} 

%\question{Critiquez vos résultats au regard des critères de température maximale en sortie, de vitesse périphérique maximale et de nombre de Mach maximal imposés.}
\question{à partir de ces résultats, conclure sur les critères de température maximale en sortie, de vitesse périphérique maximale et de nombre de Mach maximal imposés.}

%\question{Montrer que les vitesses d'entrée et de sortie sont négligeables devant celle en $i$. Montrer de même que les composantes radiales des vitesses sont négligeables devant les composantes tangentielles.}

\subsection{Modélisation des irréversibilités et du glissement}

Les sources d'irréversibilités sont très diverses et difficiles à modéliser finement. Un modèle global sous la forme d'une transformation polytropique adiabatique est adopté. Selon les retours d'expérience, l'exposant polytropique est fixé à $k=1{,}8$ et le {\it glissement} à $\mu_G=0{,}5$.

\question{pourquoi l'hypothèse isentropique ne conduit-elle pas à un modèle représentatif de la compression réelle ? Pourquoi l'hypothèse adiabatique est quant à elle raisonnable ?}

\question{reprendre les calculs de la partie précédente et déterminer les conditions de sorties, la puissance fournie par l'arbre et en déduire le rendement isentropique (rapport des puissances fournies par l'arbre dans le cas idéal isentropique et dans le cas polytropique).}

\question{déterminer la vitesse périphérique du disque $U$ et le diamètre du disque $D_e$ (en tenant compte du {\it glissement}) puis conclure au regard des contraintes technologiques et du cahier des charges.}

\question{en supposant que, dans une machine multi-étagée, chaque étage assure la même variation d'enthalpie, déterminer le nombre d'étages permettant de respecter la condition de vitesse maximale $U<250\ \rm m\cdot s^{-1}$, ainsi que le nombre d'étages permettant de respecter la condition sur la vitesse d'écoulement $\Ma=\frac{V}{Vson}<0{,}5$. En déduire le nombre d'étages à adopter et le diamètre des disques $D_e$ (utiliser la vitesse du son dans les conditions d'entrée, ainsi que la vitesse périphérique du disque $U$ pour le calcul du nombre de Mach).}

\question{à partir de la puissance fournie par l'arbre et la vitesse de rotation, déterminer le diamètre de l'arbre assurant la tenue en torsion avec un coefficient de sécurité de 4 (l'arbre est en acier, de limite élastique $R_e= 180\ \rm MPa$). Utiliser le critère de Tresca : la contrainte tangentielle maximale ne doit pas dépasser $R_e/2$.}


\subsection{Évaluation d'une solution avec refroidissement intermédiaire}

L'ajout d'un échangeur thermique représente une augmentation significative du coût et de la complexité de l'installation. Ce choix n'est économiquement rentable que si le rendement global de l'installation présente un gain d'au moins 20\%.

Par souci de simplicité, la compression est décomposée en 3 transformations :
\begin{itemize}
 \item $e-1$ compression adiabatique polytropique ;
 \item $1-2$ échange thermique isobar avec un retour à $40°\rm C$ (température d'entrée) ;
 \item $2-s$ compression adiabatique polytropique.
\end{itemize}

La variation d'enthalpie est supposée identique dans les deux compressions $e-1$ et $2-s$.

\question{déterminer les états du gaz ($p$ et $T$) en $1$, $2$ et $s$.}

\question{déterminer la puissance fournie par l'arbre et conclure sur le choix à adopter.}






%\section{Frettage des disques}
\section{Spécification de la solution d'assemblage des disques}

\objectif{modéliser la liaison complète disque -- arbre pour un étage et en déduire un encadrement de l'ajustement à spécifier pour respecter le cahier des charges. }

La partie précédente a permis de calculer la puissance (et le couple) transmis au gaz par les aubages. Cette partie vise à valider la solution technique d'assemblage des disques sur l'arbre.

Afin d'assurer un positionnement optimal et sans jeu des disques sur l'arbre, l'assemblage est fretté. Le couple est transmis par frottement au contact. Le couple à transmettre est supposé réparti de façon égale sur les six étages.

\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,angle=0]{Modele_frettage}
\end{center}
\caption{Géométrie du disque fretté sur l'arbre (à gauche) et modélisation simplifiée pour le calcul du frettage (à droite).}
\label{Modele_frettage}
\end{figure}


\subsection{Modèle d'étude}

Le disque est composé d'une partie massive et des aubages. Pour le calcul du frettage, seule la partie massive assimilée à un anneau cylindrique de rayon intérieur $r_1$, de rayon extérieur $r_2$ et de longueur $L$ est prise en compte (figure \ref{Modele_frettage}).

\pagebreak[2]
Notations :
\begin{itemize}
 \item anneau cylindrique de rayon intérieur $r_1=63{,}5\ \rm mm$, de rayon extérieur $r_2=100\ \rm mm$ et de longueur $L=100\ \rm mm$ ;
 \item serrage $s$ ;
 \item rayon de l'arbre $r_1+s/2$ ;
% \item forces d'inertie radiales : $f_v=\rho\omega^2 r$ ;
% \item accélération centripète, assimilée à une force volumique radiale $f_v=\rho\omega^2 r$ ;
 \item accélération centripète $r \omega^2$ ;
 \item limite élastique du matériau $R_e=180\ \rm MPa$ ;
 \item module d'Young $E=210 \ \rm GPa$ ;
 \item coefficient de Poisson $\nu=0{,}3$ ;
 \item masse volumique $\rho=7\ 800\ \rm kg\cdot m^{-3}$
 \item coefficient de frottement à l'interface arbre -- disque $f=0{,}1$ ;
 \item pression à l'interface arbre -- disque $p$ ;
 \item les tenseurs des contraintes et des déformations seront notés, dans la base cylindrique, avec un exposant $a$ pour l'arbre et $b$ pour le disque,
\[\hspace{-0.6cm}\cont^a=\left(\!\!\begin{array}{ccc}
\sigma^a_{rr}&\sigma^a_{r\theta}&0\\                  
\sigma^a_{r\theta}&\sigma^a_{\theta\theta}&0\\ 
0&0&0              
                 \end{array}\!\!\right),\:
\epsd^a=\left(\!\!\begin{array}{ccc}
\varepsilon^a_{rr}&\varepsilon^a_{r\theta}&0\\                  
\varepsilon^a_{r\theta}&\varepsilon^a_{\theta\theta}&0\\ 
0&0&  \varepsilon^a_{zz}               
                 \end{array}\!\!\right),\:
\cont^b=\left(\!\!\begin{array}{ccc}
\sigma^b_{rr}&\sigma^b_{r\theta}&0\\                  
\sigma^b_{r\theta}&\sigma^b_{\theta\theta}&0\\ 
0&0&0              
                 \end{array}\!\!\right),\:
\epsd^b=\left(\!\!\begin{array}{ccc}
\varepsilon^b_{rr}&\varepsilon^b_{r\theta}&0\\                  
\varepsilon^b_{r\theta}&\varepsilon^b_{\theta\theta}&0\\ 
0&0&  \varepsilon^b_{zz}               
                 \end{array}\!\!\right)
\]
 \item le déplacement radial sera noté $u(r)$ ;
 \item couple à transmettre par la liaison frettée $C_{\rm max}=1\,550\ \rm N\cdot m$ par étage ;
 \item vitesse maximale $N_{\rm max}=11\,000 \ {\rm tr\cdot min^{-1}}$, soit $\Omega_{\rm max}=1\,150\ \rm rad\cdot s^{-1}$.
\end{itemize}

Hypothèses :
\begin{itemize}
 \item matériau homogène isotrope et au comportement élastique linéaire ;
 \item modèle axisymétrique ;
 \item modèle en contraintes planes.
\end{itemize}


\question{justifier ou critiquer les hypothèses retenues pour l'étude du frettage du disque sur l'arbre et en particulier l'emploi d'un modèle en contraintes planes.}


Par la suite, un modèle adapté, dit ``modèle de l'enveloppe épaisse'', est choisi pour définir un encadrement du serrage (parties \ref{serragemaxi} et \ref{serragemini}).

%\subsection{Modèle de l'enveloppe épaisse}
\subsection{Critère de serrage maximal\label{serragemaxi}}

L'objectif de cette partie est de déterminer le serrage maximal admissible lors du frettage, afin de rester dans le domaine élastique pour l'arbre et le disque. Les pressions maximales sont atteintes à l'arrêt, si bien que les accélérations centripètes ne sont pas prises en compte pour ce critère. La température est supposée uniforme.

Le disque et l'arbre sont considérés comme des cylindres soumis à des pressions internes et externes. Le modèle de l'enveloppe épaisse choisi est décrit dans le document annexe \ref{enveloppe_epaisse}, qui précise le paramétrage, les expressions des solutions en contraintes et la forme du champ de déplacement. L'annexe \ref{operateurs_cyl} donne les expressions des opérateurs différentiels courants en coordonnées cylindriques.

%On ne s'intéresse dans cette partie qu'au modèle de l'enveloppe épaisse (voir document annexe \ref{enveloppe_epaisse}), sans prendre en compte les forces d'inertie radiales $f_v$. 

% \question{\label{question_enveloppe_epaisse}Indiquer de façon littérale les étapes de calcul permettant l'expression du champ de contraintes et de déformations pour un tube cylindrique de rayon intérieur $r_0$ soumis à une pression $p_0$ et de rayon extérieur $r_1$ soumis à une pression $p_1$.
% 
% On s'attachera en particulier à exprimer sous forme simplifiée (dans le cadre des hypothèses du problème) les équations d'équilibre, les relations entre contraintes et déformations, les relations entre les déformations et les déplacements et les conditions aux limites.
% 
% Aucune résolution de ces équations n'est demandée. Le résultat final est donné sous forme littérale en annexe \ref{enveloppe_epaisse}.}

% \question{\label{question_enveloppe_epaisse}Poser le problème proprement en indiquant, sous une forme générale, l'ensemble des équations auxquelles doit satisfaire la solution $\{\vec U(M), \epsd(M), \cont(M)\}$ : les équations d'équilibre, les relations entre contraintes et déformations, les relations entre les déformations et les déplacements et les conditions aux limites.
% 
% Simplifier ces équations dans le cadre du paramétrage et des hypothèses du problème de façon à obtenir un système d'équations liant $\sigma_{rr}$, $\sigma_{\theta\theta}$, $\varepsilon_{rr}$, $\varepsilon_{\theta\theta}$, $\varepsilon_{zz}$ et $u$.

\question{\label{question_enveloppe_epaisse}rappeler, sous une forme générale, l'ensemble des équations auxquelles doit satisfaire la solution $\{\vec U(M), \epsd(M), \cont(M)\}$ du modèle de l'enveloppe épaisse, c'est-à-dire : 
\begin{itemize}
 \item les équations d'équilibre ;
 \item les relations entre contraintes et déformations (loi de Hooke) ;
 \item les relations entre les déformations et les déplacements ;
 \item les conditions aux limites.
\end{itemize}


\`A partir des hypothèses proposées par l'énoncé et du paramétrage choisi, simplifier ces équations de façon à obtenir un système d'équations liant $\sigma_{rr}$, $\sigma_{\theta\theta}$, $\varepsilon_{rr}$, $\varepsilon_{\theta\theta}$, $\varepsilon_{zz}$, $p_i$, $p_e$, $u_r $et $u_z$.

Aucune résolution de ces équations n'est demandée. Le résultat final est donné sous forme littérale en annexe \ref{enveloppe_epaisse}.}

%\subsection{Modèle de frettage}

Par la suite, les solutions du modèle de l'enveloppe épaisse présentées en annexe \ref{enveloppe_epaisse} peuvent être utilisées sans démonstration.

%On ne s'intéresse dans cette partie qu'au modèle de frettage, on utilisera les formules de l'enveloppe épaisse en annexe \ref{enveloppe_epaisse} pour résoudre cette partie. 

%\question{Calculer de façon littérale la pression à l'interface, le champ de contraintes pour deux pièces frettées dans un même matériau, on notera $p$ la pression d'interface, $E$ le module de Young et $\nu$ le coefficient de Poisson.}
%\question{Calculer de façon littérale le champ de contraintes pour les deux pièces frettées.}
\question{en tenant compte des conditions limites, exprimer le champ de contraintes pour les deux pièces frettées en fonction de la pression à l'interface $p$.}

%\subsection{Compatibilité à l'interface}

%\question{Calculer de façon littérale la pression d'interface $p$. En déduire les contraintes $\sigma^a_{rr}$, $\sigma^a_{\theta\theta}$, $\sigma^b_{rr}$ et $\sigma^b_{\theta\theta}$ au point $M$ situé sur un rayon $r$ en fonction du serrage $s$, du module d'Young $E$ et de la géométrie $r_1$ et $r_2$.}
\question{à partir de la relation de compatibilité cinématique à l'interface, déterminer litté\-ra\-lement l'expression de la pression d'interface $p$.}
%\revoir{En déduire les contraintes $\sigma^a_{rr}$, $\sigma^a_{\theta\theta}$, $\sigma^b_{rr}$ et $\sigma^b_{\theta\theta}$ en tout point $M$ situé sur un rayon $r$ en fonction du serrage $s$, du module d'Young $E$ et de la géométrie $r_1$ et $r_2$. CECI EST-IL INTÉRESSANT ?}}

%\subsection{Critère de serrage maximum}

%\question{Indiquer le critère retenu pour déterminer le serrage maximum, et exprimer de façon littérale l'inégalité obtenue en fonction du serrage $s$ (on choisira le critère donnant lieu à un minimum de calcul).}
\question{à partir du critère de Tresca, déterminer le rayon pour lequel le matériau est le plus sollicité et en déduire l'expression et la valeur numérique du serrage maximal $s_{\rm max}$ admissible sans déformation plastique. Pour rappel, le critère de Tresca précise que la différence entre les contraintes principales ne doit pas dépasser $R_e$.}

%\subsection{Modèle retenu pour un disque plein en rotation\label{question_disque_en_rotation}}
\subsection{Critère de serrage minimal\label{serragemini}}

Le couple à transmettre nécessite un serrage minimal lors du frettage. Les pressions minimales sont atteintes à la vitesse maximale, si bien que les accélérations centripètes sont prises en compte pour ce critère. La température est supposée uniforme.

% \question{Indiquer de façon littérale les étapes de calcul permettant d'obtenir l'expression du champ de contraintes et de déformations pour un disque plein cylindrique de rayon extérieur $r_2$ soumis à une force d'inertie $f_v$.
% 
% On s'attachera en particulier à exprimer sous forme simplifiée dans le cadre des hypothèses du probleme les équations d'équilibre, les relations entre contraintes et déformations, les relations entre les déformations et les déplacements et les conditions aux limites.
% 
% Aucune résolution de ces équations n'est demandée. Le résultat final est donné sous forme littérale en annexe \ref{enveloppe_epaisse}.}

\question{\label{question_enveloppe_epaisse_rotation}indiquer quelles modifications aux équations de la question \ref{question_enveloppe_epaisse} sont à apporter pour tenir compte des accélérations centripètes dans le modèle de l'enveloppe épaisse.

Aucune résolution de ces équations n'est demandée. Le résultat final est donné sous forme littérale en annexe \ref{enveloppe_epaisse}.}

Par la suite, les solutions du modèle de l'enveloppe épaisse présentées en annexe \ref{enveloppe_epaisse} peuvent être utilisées sans démonstration.

%\subsection{Critère de serrage minimum}

%\question{Indiquer le critère retenu pour déterminer le serrage minimum ?}
\question{à partir du critère à respecter pour le serrage minimal, déterminer la pression minimal $p_{\rm min}$ à assurer au contact.}



%\question{Proposer une évolution des modèles des questions \ref{question_enveloppe_epaisse} et \ref{question_disque_en_rotation} pour exprimer de manière littérale le critère de serrage minimum.}
\question{expliquer comment les modèles des questions \ref{question_enveloppe_epaisse} et \ref{question_enveloppe_epaisse_rotation} peuvent permettre de déterminer la pression $p$ à l'interface puis exprimer cette pression en fonction du serrage $s$ et de la vitesse de rotation $\omega$.}


%\question{Calculer le serrage maximal et minimal permettant d'encadrer l'ajustement du frettage.}
\question{en déduire la valeur du serrage minimal $s_{\rm min}$ et conclure sur un encadrement de l'ajustement du frettage.}


% \question{Proposer un ajustement en vous aidant du tableau des ajustements ISO qui est donné en annexe \ref{ajustementsISO}. En déduire le serrage minimal $s_{\rm min}$ et le serrage maximal $s_{\rm max}$ permis par cet ajustement.}
% 
% \question{Vérifier à l'aide de ces nouvelles valeurs le respect des conditions imposées.}

Le procédé d'assemblage est réalisé par dilatation. Le disque est porté de la température ambiante $T_0=20°C$ à une température $T_c$ pour créer un jeu diamétral $j$ d'assemblage entre l'arbre et l'alésage. Afin de ne pas modifier les caractéristiques mécaniques du matériau, la température ne doit pas dépasser $350°\rm C$.

Le rayon de l'alésage à l'état initial est $r_1$. Le rayon de l'arbre à l'état initial est $r_1 + s/2$. Le jeu d'assemblage choisi pour le montage vaut $j=2 r_1 . 10^{-3}$. Le coefficient de dilatation du matériau de l'alésage vaut $\alpha = 12 . 10^{-6}\ \rm K^{-1}$.


% La pression de contact obtenue lors d'un frettage amène un écrasement des stries d'usinage de la surface commune à l'arbre et à l'alésage, ce qui a pour effet de diminuer le serrage, et par conséquent la pression $p$.
% Si $s$ est le serrage théorique calculé, il faudra, avant le montage, mesurer un serrage $s' > s$ sur les pièces pour obtenir la pression $p$ prévue. Le serrage $s'$ se calcule par la relation : 
% $$s'=s+4(R_a^{\mbox{\scriptsize arbre}}+R_a^{\mbox{\scriptsize alésage}})$$
% où $R_a$ représente la rugosité exprimée en [$\rm \mu m$] d'où $s$ et $s'$ sont aussi en [$\rm \mu m$].
% 
% Notation :
% \begin{itemize}
% \item $s'$ : serrage désiré en mm, $s = xxx\ \rm mm$ ; \revoir{Attention à éviter de spécifier les unités des formules : ici il y a contradiction entre les mm et les $\rm \mu m$... Par ailleurs, s doit respecter un encadrement et pas une valeur précise... En toute rigueur, il faut se placer dans le cas le plus défavorable de l'ajustement}
% \item $T_0$ : température ambiante en $~^oC$, $T_0 = 20\ \rm °C$ ;
% \item $d_1$ : diamètre nominal d'emmanchement, $d_1 = 127\ \rm mm$ ;
% \item $\lambda$ : Coefficient de dilatation du matériau de l'alésage $\lambda = 12.10^{-6}\ \rm K^{-1}$ ;
% \item $j$ : le jeu diamétral de montage à chaud en $mm$, $j=10^{-3}  d_1$ ;
% \item $R_a$ : Rugosité de l'arbre et de l'alésage supposés identiques en $\rm \mu m$, $R_a = 0.8\ \rm \mu m$.
% \end{itemize}
% 
% \question{Donner sous forme littérale l'expression permettant de calculer la température de chauffe $T_c$ nécessaire pour avoir un jeu de montage à chaud $j$. Faire l'application numérique avec les données ci-dessus. Conclure \valider{sur la pertinence de ce procédé de fabrication}.}

\question{donner sous forme littérale l'expression permettant de calculer la température minimale de chauffe $T_c$ nécessaire pour pouvoir monter le disque sur l'arbre sans presse. Faire l'application numérique avec les données ci-dessus. Conclure sur la pertinence de ce procédé de fabrication.}

% \valider{Cette partie a permis de mettre en évidence la difficulté à spécifier la solution d'assemblage des disques sur l'arbre, assurant à la fois un positionnement optimal, une tenue mécanique à l'arrêt et une tenue mécanique en charge.}

Cette partie a permis de déterminer les spécifications dimensionnelles de l'assemblage fretté et d'envisager la possibilité d'un montage à chaud sans presse.

\pagebreak[4]
%\section{Dynamique du rotor}
\section{Validation du comportement vibratoire du compresseur}

%\objectif{calculer les premiers modes de vibration afin de déterminer la gamme de vitesses admissibles du compresseur.}

\objectif{valider le comportement vibratoire dans la plage de fonctionnement du compresseur.}

La première partie a montré que le travail de compression est directement lié à la vitesse périphérique du disque. La vitesse de rotation doit être la plus élevée possible (dans la limite de la tenue des disques).

Néanmoins, le rotor ne pouvant être parfaitement équilibré, la machine est sensible aux vibrations et il convient de s'assurer de ne pas travailler à une vitesse de rotation voisine d'un mode de vibration. %En pratique, le compresseur travaille dans une plage de vitesses éloignée des fréquences de résonance dues aux modes rigides et flexibles.

La première partie vise à déterminer les modes de corps rigide à partir d'un modèle simple à paliers souples et arbre rigide. La seconde partie vise à déterminer les premiers modes souples à partir d'un modèle simple à paliers rigides et arbre souple.


\subsection{Modes de corps rigide}

L'arbre et le disque sont assimilés à un corps rigide 3 en appui sur deux paliers en $A$ et $B$, guidant l'arbre autour de l'axe $(O,\vec z_0)$.

Les paliers ne sont pas infiniment rigides ce qui conduit à des vibrations à certaines fréquences de rotation. Dans le cadre de cette étude, pour éviter les calculs fastidieux, les paliers sont modélisés par des raideurs $k_x$ et $k_y$ dans les directions $\vec x$ et $\vec y$, et ne présentent aucun amortissement.

\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,angle=0]{parametrage_mode_rigide}
\end{center}
\caption{Paramétrage de l'étude des modes de corps rigide.}
\label{parametrage_mode_rigide}
\end{figure}

Paramétrage :

Soit une base $B_0$ liée au bâti fixe et une base $B_3$ accrochée à l'arbre 3. $\alpha$, $\beta$ et $\varphi$ définissent les trois angles de rotation de $B_3$ par rapport à $B_0$ autour respectivement des axes $\vec x_0$, $\vec y_1$ et $\vec z_2$ (voir figure \ref{parametrage_mode_rigide}). $\alpha$ et $\beta$ sont petits tandis que $\varphi=\Omega t$ avec $\Omega$ supposée constante. La vitesse de rotation $\Omega$ est notée $N$ lorsqu'elle est exprimée en $\rm tr\cdot min^{-1}$.

Le déplacement du centre de gravité $G$ est paramétré par $\Vec{OG}=x\vec x_0+y\vec y_0$. $A_0$ et $B_0$ sont les centres des paliers, liés au bâti $0$, et $A$ et $B$ les centres des paliers liés à l'arbre 3. $A$ et $A_0$, ainsi que $B$ et $B_0$, sont confondus pour la position nominale ($\alpha=\beta=x=y=0$).

%~\pagebreak[3]


Notations :
\begin{itemize}
 \item $M_3=223{,}5\ \rm kg$ la masse et $I_{G,3}=\left ( \begin{array}{ccc}A_3&0&0\\0&A_3&0\\0&0&C_3\end{array}\right )_{B_3}$ la matrice d'inertie de l'ensemble \{arbre + disque\} noté 3, avec $A_3=52\ \rm kg\cdot m^2$ et $C_3=1\ \rm kg\cdot m^2$ ;
 \item $\Vec{OG}=x\vec x_0+y\vec y_0$ ;
 \item $\Vec{A_0O}= \Vec{OB_0}= L\vec z_0$, avec $L=0{,}65\ \rm m$ ;
 \item $\Vec{AG}= \Vec{GB}= L\vec z_3$ ;
 \item $k_x=3.10^7\ \rm N\cdot m^{-1}$ et $k_y=2{,}3.10^7\ \rm N\cdot m^{-1}$ les raideurs des paliers suivant les directions $\vec x$ et $\vec y$ ;
 \item $\vec F_{\rm bal} = F_0\vec x_3=F_x(t)\vec x_0+F_y(t)\vec y_0$ une sollicitation de type balourd appliquée en $G$ ;
 \item $\vec M_{\rm bal} = M_0\vec x_3=M_x(t)\vec x_0+M_y(t)\vec y_0$ une sollicitation en moment de type balourd ;
 \item les torseurs d'actions mécaniques de 0 sur 3 transmises par les liaisons en $A$ et $B$ sont notés : $$\Torseurindice{T}{(A)}{0/3}=\torseur{A_0}{\vec R^{(A)}_{0/3}}{\vec M^{(A)}_{A_0,0/3}} \qquad \mbox{et}\qquad \Torseurindice{T}{(B)}{0/3}=\torseur{B_0}{\vec R^{(B)}_{0/3}}{\vec M^{(B)}_{B_0,0/3}}$$
\end{itemize}

Hypothèses :
\begin{itemize}
 \item $\alpha$ et $\beta$ petits devant 1 ;
 \item $x$ et $y$ petits devant $L$ ;
 \item $\dot \alpha$ et $\dot \beta$ petits devant $\Omega$ ;
 \item le poids n'est pas considéré dans cette étude vibratoire.
\end{itemize}


\question{appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'ensemble 3 \{arbre+disque\} et déterminer les équations différentielles linéarisées du mouvement en $x$, $y$, $\alpha$ et $\beta$. 

Vérifier que le moment cinétique linéarisé s'écrit dans la base 2 : $\displaystyle\vec\sigma_{G,3/0}=A_3(\dot\alpha \vec x_2+\dot\beta\vec y_2)+C_3\Omega\vec z_2$

Exprimer le résultat sous la forme :
$$\mathbb{M}\left(\begin{array}{c}\ddot x\\ \ddot y \\ \ddot\alpha\\ \ddot\beta\end{array}\right)
+\mathbb{C}\left(\begin{array}{c}\dot x\\ \dot y \\ \dot\alpha\\ \dot\beta\end{array}\right)
+\mathbb{K}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ \alpha\\ \beta\end{array}\right)=\mathbb{F}$$
en précisant les matrices $\mathbb{M}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{K}$ et $\mathbb{F}$.}

\begin{figure}[!b]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm,angle=0]{resultat_simulation_mode_rigide}
\end{center}
\caption{Amplitudes $X$, $Y$, $A$ et $B$ de la réponse à une excitation de balourd (courbes obtenues à partir des expressions demandées question \ref{Q_rep_freq_mode_rigide}).}
\label{resultat_simulation_mode_rigide}
\end{figure}

Dans un premier temps, l'étude se limite au régime libre ($\vec F_{\rm bal}=\vec M_{\rm bal} =\vec 0$) en posant la solution sous la forme $\displaystyle\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ \alpha(t)\\ \beta(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ A\\ B\end{array}\right)e^{rt}$ où $X$, $Y$, $A$, $B$ et $r$ sont des constantes complexes.

\question{déterminer le polynôme caractéristique. En déduire, pour chaque mode, la forme de la réponse temporelle et la valeur numérique de la pulsation propre du rotor (dans le cas où $N=11\,000\ \rm tr\cdot min^{-1}$).}

Dans un second temps, l'étude porte sur la réponse à une excitation de balourd avec $\vec F_{\rm bal} = F_0\vec x_3$ et $\vec M_{\rm bal} = M_0\vec x_3$, où $F_0=m\ r_0 \Omega^2$ et $M_0=l F_0$. La forme de la solution proposée est : 
$$\displaystyle\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ \alpha(t)\\ \beta(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}X\cos\varphi\\ Y\sin\varphi\\A\cos\varphi\\ B\sin\varphi\end{array}\right)$$

\question{\label{Q_rep_freq_mode_rigide}déterminer littéralement les amplitudes $X$, $Y$, $A$ et $B$ des modes de vibration de l'arbre et justifier à partir de vos expressions la présence ou non de résonances et d'anti-résonances sur la courbe donnée figure \ref{resultat_simulation_mode_rigide}.}

\question{quelles sont les conséquences de la présence d'une part de fréquences de résonance et d'autre part de fréquences d'anti-résonance sur la montée en vitesse du compresseur.}




\subsection{Modes souples}

L'étude porte désormais sur les modes souples de vibration du rotor. L'arbre est assimilé à une poutre mince souple et le disque 3 à un corps rigide encastré sur l'arbre en $G$. Une base $B_3 (\vec x_3, \vec y_3, \vec z_3)$ est liée au disque 3.

L'arbre est guidé par deux appuis supposés infiniment rigides (voir figure \ref{parametrage_mode_souple}).

\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm,angle=0]{parametrage_mode_souple}
\end{center}
\caption{Paramétrage de l'étude des modes souples.}
\label{parametrage_mode_souple}
\end{figure}

La rotation du disque 3 est paramétrée par les trois angles $\alpha$, $\beta$ et $\varphi$. $\alpha$ et $\beta$ sont petits tandis que $\varphi=\Omega t$ avec $\Omega$ supposée constante. La vitesse de rotation $\Omega$ est notée $N$ lorsqu'elle est exprimée en $\rm tr\cdot min^{-1}$.

Notations : 
\begin{itemize}
 \item $G$ le centre de gravité du disque, $\Vec{OG}=x_G\vec x_0+y_G\vec y_0$ ;
 \item $M_d=46\ \rm kg$ la masse du disque ;
 \item $I_{G,d}=\left ( \begin{array}{ccc}A_d&0&0\\0&A_d&0\\0&0&C_d\end{array}\right )_{B_3}$ la matrice d'inertie du disque avec $\left | \begin{array}{l}A_d=3{,}6\ \rm kg\cdot m^2\\ C_d=0{,}6\ \rm kg\cdot m^2 \end{array}\right.$.  %$A_d=3{,}6\ \rm kg\cdot m^2$ et \\${C_d=0{,}6\ \rm kg\cdot m^2}$ ;
% \item \revoir{$m$ la masse du balourd situé en $C$ tel que $\Vec{GC}=d\cdot\vec x_3$}
 \item $E=200\ \rm GPa$ le module d'Young de l'arbre ;
 \item $I=128.10^{-7}\ \rm m^4$ le moment quadratique en flexion de l'arbre ;
 \item $S=127.10^{-4}\ \rm m^2$ la section de l'arbre ;
 \item $\rho=7{,}8.10^3\ \rm kg\cdot m^{-3}$ la masse volumique de l'arbre ;
 \item $L=0{,}65\ \rm m$ la demi-longueur de l'arbre.
\end{itemize}

Hypothèses :
\begin{itemize}
 \item $\alpha$ et $\beta$ petits devant 1 ;
 \item $x$ et $y$ petits devant $L$ ;
 \item $\dot \alpha$ et $\dot \beta$ petits devant $\Omega$ ;
 \item les sections droites restent normales à la fibre neutre (hypothèse de Bernoulli) ;
 \item le poids n'est pas considéré dans cette étude vibratoire.
\end{itemize}

Une approximation de la solution est obtenue par la méthode de Rayleigh-Ritz. La déformée de l'arbre est approchée par les fonctions de forme correspondant aux premiers modes de vibration de la poutre seule. Afin de limiter les calculs, seul le second mode de vibration est déterminé (le premier mode sera donné en fin de partie). La fonction de forme s'écrit :
$$\left \{ \begin{array}{l}
x(z,t)=q_x(t) \sin(\pi z/L)\\
y(z,t)=q_y(t) \sin(\pi z/L)
  \end{array}\right.$$

Dans le cas du second mode souple, le centre de gravité $G$ reste confondu avec $O$.

\question{montrer que les énergies cinétiques $E_{cd}$ du disque et $E_{ca}$ de l'arbre par rapport au bâti s'écrivent, dans l'hypothèse où les angles $\alpha$ et $\beta$ restent petits :

$$E_{cd}=\frac 12 A_d \left(\frac\pi L\right)^2 \left[\dot q_x^2(t) + \dot q_y^2(t)\right] + \frac 12 C_d \left[\Omega^2-2 q_x(t) \dot q_y(t)\Omega \left(\frac\pi L\right)^2 \right]$$

$$E_{ca}=\frac {\rho S L}{2}\left[\dot q_x^2(t) + \dot q_y^2(t)\right]$$
}

\question{vérifier que les expressions de $x(z,t)$ et $y(z,t)$ proposées vérifient les conditions aux limites du problème puis montrer que l'énergie de déformation de l'arbre $E_{da}$ s'écrit :

$$E_{da}=\frac {EI\pi^4}{2L^3}\left[q_x^2(t) + q_y^2(t)\right]$$

}

La forme classique des équations de Lagrange est rappelée ci-dessous :

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_c}{\partial \dot q_i}\right)-\frac{\partial E_c}{\partial  q_i}+\frac{\partial U}{\partial  q_i}=F_{q_i}$$

\question{déterminer, à l'aide des équations de Lagrange issues des paramètres $q_x$ et $q_y$, un système de deux équations différentielles en $q_x(t)$ et $q_y(t)$, mis sous la forme : 
$$\mathbb{M}\left(\begin{array}{c}\ddot q_x\\ \ddot q_y\end{array}\right)
+\mathbb{C}\left(\begin{array}{c}\dot q_x\\ \dot q_y\end{array}\right)
+\mathbb{K}\left(\begin{array}{c}q_x\\ q_y\end{array}\right)=\mathbb{F}$$

Préciser les expressions des matrices $\mathbb{M}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{K}$ et $\mathbb{F}$.}

Pour compléter le calcul précédent, l'équation de Lagrange correspondant au premier mode souple est donnée :
$$(M_d+L \rho S)\ddot q_x+\frac{EI\pi^4}{16L^3}q_x=F_1(t)$$%2 m d \Omega^2 \cos\varphi$$

Pour la suite des calculs, utiliser les notations :

\begin{center} $M=\rho S L+A_d\left( \frac{\pi}{L}\right)^2$, $\qquad C=C_d\left( \frac{\pi}{L}\right)^2$, $\qquad K=E I \frac{\pi^4}{L^3}$.\end{center}

\question{par une démarche similaire à la partie précédente, déterminer la forme de la réponse en régime libre et calculer les pulsations propres des modes souples (dans le cas où $N=11\,000\ \rm tr\cdot min^{-1}$).}

% On cherche la réponse à l'excitation du balourd, sous la forme :
% $$\left \{ \begin{array}{l}
% q_x=Q_x \cos \varphi \\
% q_y=Q_y \sin \varphi
%   \end{array}\right.$$
% 
% \question{Déterminer la pulsation de résonance et en déduire la gamme de vitesse de rotation admissible.}


\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,angle=0]{simulation_frequentielle}
\end{center}
\caption{Diagramme fréquentiel obtenu {\bf par simulation}.}
\label{mesure_frequentielle1}
\end{figure}


\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm,angle=0]{mesure_frequentielle}
\end{center}
\caption{Diagramme fréquentiel {\bf mesuré} sur le compresseur.}
\label{mesure_frequentielle2}
\end{figure}

% 
% \begin{figure}[!hbt]
% \begin{center}
% \includegraphics[width=10cm,angle=0]{mesure_frequentielle3}
% \end{center}
% \caption{Relevé fréquentiel mesuré sur le compresseur.}
% \label{mesure_frequentielle3}
% \end{figure}

\question{les courbes figures \ref{mesure_frequentielle1} et \ref{mesure_frequentielle2} %et \ref{mesure_frequentielle3} 
montrent un résultat de simulation et un relevé expérimental réalisé sur un compresseur. Confronter les résultats analytiques, les résultats de simulation et les mesures afin de discuter des écarts.} %Comment interprétez-vous le relevé figure \ref{mesure_frequentielle3} ?}


Cette partie a permis d'évaluer le risque vibratoire sur la gamme de vitesse du compresseur. Il a été possible de montrer que le compresseur traverse des modes de résonance lors de la montée en vitesse (ce qui nécessite une accélération rapide du rotor) mais qu'aucun mode de résonance ne perturbe la plage de vitesse de travail.





%\section{Écoulement dans le diffuseur}
\section{Validation de l'encombrement radial du compresseur}

\objectif{valider le choix du diamètre extérieur du diffuseur lisse sur les critères de réduction de la vitesse du gaz et de perte de charge.}

%\revoir{Retour de Sébastien : Revoir l'objectif car la partie ne se termine pas sur l'objectif fixé. Le texte de début de partie n'est pas clair : on ne comprend pas ce qu'on veut faire. La partie débouche sur un calcul de vitesse et de pression en sortie mais à quoi ça sert... On ne comprend pas le lien avec la conclusion.}

Le rôle du diffuseur est de réduire la vitesse du gaz en sortie du disque afin de convertir l'énergie cinétique en enthalpie.

Deux types de diffuseurs sont classiquement utilisés : les diffuseurs à aubes et les diffuseurs lisses (c'est-à-dire sans aube). Dans le second cas, l'augmentation du rayon et les frottements visqueux sur les parois suffisent à réduire significativement la vitesse du gaz avant l'entrée dans la volute (figure \ref{schema_coupe_diffuseur}).

Un diffuseur lisse présente un rendement moindre au voisinage du régime nominal de la pompe, mais meilleur lorsque les conditions d'utilisation s'éloignent du régime nominal.

\begin{figure}[!!hbt]
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{schema_coupe_diffuseur}
\caption{Schéma en coupe d'un étage.\label{schema_coupe_diffuseur}}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{parametrage_meca_fluide}
\caption{Paramétrage, dans le plan $\pi$, de l'écoulement dans le diffuseur.\label{parametrage_meca_fluide}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}

%Cette partie vise à modéliser l'écoulement dans un diffuseur lisse, c'est-à-dire entre deux plans distants de $h$, depuis le rayon interne $R_i$, jusqu'au rayon externe $R_e$ (figure \ref{parametrage_meca_fluide}).

Le choix du diamètre extérieur du diffuseur résulte d'un compromis. Un diffuseur de grand diamètre permet un meilleur ralentissement du gaz avant la volute mais conduit aussi à une plus grande perte de charge.

Cette partie vise à valider la géométrie du diffuseur vis-à-vis de deux critères de performance :
\begin{itemize}
 \item une conversion de l'énergie cinétique en pression à plus de 60\% (pourcentage de diminution du carré de la vitesse entre l'entrée et la sortie du diffuseur) ;
 \item une perte de charge due à la viscosité inférieure à 25\% de l'augmentation de pression entre l'entrée et la sortie du diffuseur.
\end{itemize}


L'écoulement dans le diffuseur lisse est modélisé par un écoulement entre deux plans distants de $h$, depuis le rayon interne $R_i$, jusqu'au rayon externe $R_e$ (figure \ref{parametrage_meca_fluide}). Pour simplifier le modèle de l'écoulement, le gaz est assimilé à un fluide parfait incompressible et les frottements visqueux sur les parois (responsables de la perte de charge régulière) sont modélisés par une force volumique $\vec f_d$.

Le débit massique vaut $Q_m=90{,}3\ \rm kg\cdot s^{-1}$ et on admet que le {\it glissement} en sortie du disque vaut $\mu_G=V_u/U=0{,}5$, où $V_u$ est la composante orthoradiale de la vitesse du fluide et $U$ la vitesse périphérique du disque.

Hypothèses : 
\begin{itemize}
 \item l'écoulement est supposé stationnaire ;
 \item le fluide est supposé parfait et incompressible ;
 \item l'action de la pesanteur est négligée ;
 \item les pertes de charges par viscosité sont modélisées par une force volumique $\vec f_d$.
\end{itemize}

On note :
\begin{itemize}
 \item $\rho = 150\ \rm kg\cdot m^{-3}$ la masse volumique ;
 \item $\mu = 10^{-5}\ \rm Pa\cdot s$ la viscosité dynamique ;
% \item $\vec f_v= -\frac 12\lambda\vec V$ la force massique de frottement visqueux,
 \item $\vec f_d$ la force volumique de frottement visqueux ;
 \item $\varepsilon=1{,}5\ \rm \mu m$ la rugosité des surfaces du diffuseur ;
 \item $h = 7\ \rm mm$ la distance entre les plans ;
 \item $R_i=0{,}173\ \rm m$ et $R_e=0{,}260\ \rm m$ les rayons intérieur et extérieur du diffuseur ;
 \item $\gamma_e$ et $\gamma_s$ les surfaces d'entrée et de sortie du fluide ;
 \item vitesse maximale $N_{\rm max}=11\,000 \ {\rm tr\cdot min^{-1}}$, soit $\Omega_{\rm max}=1\,150\ \rm rad\cdot s^{-1}$.\end{itemize}


Le formulaire donné en annexe \ref{operateurs_cyl} rappelle les expressions de certains opérateurs en coordonnées cylindriques.



\question{donner, dans le cas général, les expressions des équations locales de conservation de la masse et de Navier-Stockes.}

\question{traduire analytiquement les hypothèses proposées par l'énoncé. Compléter par les différentes hypothèses qui vous paraissent pertinentes dans le cadre du problème posé. Définir précisément les conditions aux limites du problème.}

L'abaque de Moody (figure \ref{abaque_moody}) permet de déterminer le coefficient de perte de charge régulière dans un tube. Bien que la géométrie ne soit pas réellement celle d'un tube, cet abaque permet d'estimer la perte de charge régulière dans le diffuseur, en considérant la grandeur caractéristique $h$ comme étant le diamètre du tube.

\question{sachant que la vitesse du fluide dans le diffuseur est comprise entre environ $50\ \rm m\cdot s^{-1}$ et $130\ \rm m\cdot s^{-1}$, déterminer à l'aide de l'abaque de Moody (figure \ref{abaque_moody}) l'expression du frottement visqueux $\vec f_d$ en précisant les applications numériques.}

Afin de faciliter la résolution à la main des calculs suivants, la forme $\vec f_d=-\frac 12 \lambda \vec V$ pour le frottement visqueux est adoptée, avec une expression adaptée du coefficient $\lambda=27\,000\ \rm Pa\cdot s\cdot m^{-2}$.

\question{traduire les équations de conservation de la masse et de Navier-Stockes en coordonnées cylindriques puis simplifier ces équations à l'aide des hypothèses formulées, de façon à obtenir un système de trois équations les plus simples possibles.}

\question{résoudre analytiquement le problème pour déterminer le champ de vitesse ${\vec V=V_r\vec u_r+V_\theta \vec u_\theta}$ ainsi que la variation de pression radiale $\frac{\partial p}{\partial r}$. En déduire la vitesse en sortie du diffuseur puis conclure sur le critère de conversion de l'énergie cinétique en pression du cahier des charges proposé.}

\question{dans le cas où $\vec f_d=\vec 0$, intégrer le gradient de pression et déterminer l'augmentation de pression à travers le diffuseur.}

Dans le cas où $\vec f_d\neq \vec 0$, l'intégration du gradient de pression nécessite un outil numérique. La différence de perte de charge dans le diffuseur par rapport au cas sans frottement est calculée à $1{,}1\ \rm bar$.

\question{conclure sur le critère de perte de charge du cahier des charges proposé.}
%\question{Déterminer le diamètre extérieur du diffuseur assurant une vitesse de sortie de $100\ \rm m/s$ et en déduire la valeur de la perte de charge à travers le diffuseur.}

%ette étude de l'écoulement permet de conclure qu'un diffuseur lisse d'une longueur de 70\% du rayon du rotor permet de convertir l'essentiel de l'énergie cinétique en enthalpie avant l'entrée dans la volute et par conséquent de limiter les dissipations d'énergie. Il s'agit d'un compromis raisonnable entre l'encombrement du compresseur et son rendement.


%\bigskip
\section{Conclusions}
%Au terme de cette étude, différents paramètres de dimensionnement du compresseur ont été évalués ou validés. Un bon nombre de paramètres dimensionnels ont été abordés (nombre d'étages, diamètre de l'arbre, diamètre des disques, diamètre du diffuseur), ainsi que l'opportunité d'un refroidissement et la solution d'assemblage des disques sur l'arbre. Ces études ont mis en évidence les difficultés de conception d'un système complexe à con\-train\-tes multiples.
%
%Par ailleurs, une étude approfondie du comportement vibratoire du compresseur en fonctionnement a souligné l'intérêt des modèles de prévision du comportement.

\question{Conclure sur cette étude en dégageant les principaux critères dimensionnants pour un compresseur centrifuge. Présenter votre synthèse sous forme d'un tableau faisant apparaitre les critères de performance, les contraintes technologiques, les modèles utilisables et les principaux paramètres dimensionnants.}

%\valider{Dans le cadre d'une démarche d'ingéniérie système, une formalisation des études réalisées est demandée. Le document réponse tableau \ref{sysml} propose une ébauche de 3 tableaux représentant les exigences à satisfaires, les modèles d'étude et les paramètres de dimensionnement.
%
%\question{compléter le tableau des exigences. Relier les paramètres aux modèles qui en dépendent, puis relier les modèles aux exigences qu'ils permettent de valider.}
%
%PREVOIR UN DOC REPONSE AVEC 3 TABLEAUX EN VERTICAL : UN TABLEAU VIDE DES EXIGENCES, UN TABLEAU REMPLI DES MODÈLES (4 MODÈLES) ET UN TABLEAU REMPLI DE PARAMÈTRES DE DIMENSIONNEMENT.
%
%\begin{table}[h]
%
%\begin{tabular}{|l|p{6cm}|p{7cm}|}\hline
%{\bf Exigences}\\ \hline
%\\ \hline
%\\ \hline
%\\ \hline
%\\ \hline
%\\ \hline
%\\ \hline
%\end{tabular}\hspace{2cm}
%\begin{tabular}{|l|p{6cm}|p{7cm}|}\hline
%{\bf Modèles}\\ \hline
%Modèle thermodynamique\\ \hline
%Modèle de frettage\\ \hline
%Modèle dynamique\\ \hline
%\parbox{4cm}{Modèle de mécanique des fluides}\\ \hline
%\end{tabular}\hspace{2cm}
%\begin{tabular}{|l|p{6cm}|p{7cm}|}\hline
%{\bf Paramètres}\\ \hline
%Diamètres de l'arbre\\ \hline
%Nombre d'étages\\ \hline
%Puissance motrice\\ \hline
%Vitesse de rotation\\ \hline
%Couple moteur\\ \hline
%Diamètre des disques\\ \hline
%Diamètre du diffuseur\\ \hline
%Raideur des paliers\\ \hline
%Matrice d'inertie du rotor\\ \hline
%\parbox{5cm}{Ajustement de l'assemblage arbre -- disque}\\ \hline
%\end{tabular}
%
%\caption{Extrait du cahier des charges fonctionnel.}
%\label{sysml}
%\end{table}
%
%
%}

\newpage
\appendix

\section{Annexes}

\subsection{Formulaire pour le modèle de l'enveloppe épaisse\label{enveloppe_epaisse}}


% 
% \begin{wrapfigure}[5]{r}{7cm}
% \begin{center}
% \includegraphics[width=5cm,angle=0]{parametrage_enveloppe_epaisse}
% \end{center}
% \caption{Paramétrage de l'enveloppe épaisse.}
% \label{parametrage_enveloppe_epaisse}
% \end{wrapfigure}
% 
% \begin{figure}[!hbt]
% \begin{center}
% \includegraphics[width=7cm,angle=0]{parametrage_enveloppe_epaisse}
% \end{center}
% \caption{Paramétrage de l'enveloppe épaisse.}
% \label{parametrage_enveloppe_epaisse}
% \end{figure}

\begin{minipage}{6.6cm}
 

\paragraph{Caractéristiques géométriques : }
\begin{itemize}
 \item problème invariant par rotation ;
 \item le tube est cylindrique, de rayon intérieur $r_i$ et de rayon extérieur $r_e$.
\end{itemize}

\paragraph{Caractéristiques du matériau : }
\begin{itemize}
 \item module d'Young $E$ ;
 \item coefficient de Poisson $\nu$ ;
 \item masse volumique $\rho$.
\end{itemize}

\paragraph{Caractéristiques du chargement : }
\begin{itemize}
 \item le rayon intérieur $r_i$ est soumis à une pression $p_i$ ;
 \item le rayon extérieur $r_e$ est soumis à une pression $p_e$ ;
% \item le matériau est soumis à des forces volumiques radiales $f_v=\rho\omega^2r$.
 \item le disque est en rotation à vitesse constante $\omega$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7cm}
 %~\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm,angle=0]{parametrage_enveloppe_epaisse}
\end{center}
\captionof{figure}{Paramétrage de l'enveloppe épaisse.}
\label{parametrage_enveloppe_epaisse}
%\end{figure}
%~
\end{minipage}


\paragraph{Champ de contraintes :\\ }

La résolution des équa\-tions d'équilibre donne un champ de contraintes en coordonnées cylindriques de la forme :
\[\sigma_{rr}=A+\frac B{r^2}-\frac{3+\nu}8 \rho\omega^2r^2 \qquad \sigma_{\theta\theta}=A-\frac B{r^2}+\frac{1+3\nu}8 \rho\omega^2r^2\qquad \sigma_{r\theta}=0\]

Pour une enveloppe épaisse à l'arrêt ($\omega=0$), soumise à une pression intérieure $p_i$ et extérieure $p_e$, ces expressions conduisent à la solution :
\[
\sigma_{rr}=p_i\frac{r_i^2}{r_e^2-r_i^2}\left[1-\frac{r_e^2}{r^2}\right]-p_e\frac{r_e^2}{r_e^2-r_i^2}\left[1-\frac{r_i^2}{r^2}\right]
\]
\[
\sigma_{\theta\theta}=p_i\frac{r_i^2}{r_e^2-r_i^2}\left[1+\frac{r_e^2}{r^2}\right]-p_e\frac{r_e^2}{r_e^2-r_i^2}\left[1+\frac{r_i^2}{r^2}\right]
\]

\paragraph{Champ de déformations : }
Les déformations sont liées par les lois de Hooke :

\[
\varepsilon_{rr}=\frac 1E(\sigma_{rr}-\nu\sigma_{\theta\theta})\qquad
\varepsilon_{\theta\theta}=\frac 1E(\sigma_{\theta\theta}-\nu\sigma_{rr})
\]

\paragraph{Champ de déplacement : }

\[
\vec U=u_r\vec u_r+u_z\vec u_z   \qquad\varepsilon_{rr}=\frac{du_r}{dr} \qquad \varepsilon_{\theta\theta}=\frac{u_r}r
\]

\newpage

\subsection{Opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques\label{operateurs_cyl}}

$$\Vec{{\rm grad}}\ f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec u_r+\frac 1r\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec u_\theta+\frac{\partial f}{\partial z}\vec u_z 
\qquad\qquad 
{\rm div}\ \vec U = \frac 1r\frac{\partial (r U_r)}{\partial r} +\frac 1r\frac{\partial U_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial U_z}{\partial z} $$

$$\uuline{\rm grad}\ \vec U = \left ( \begin{disarray}{ccc}
  \frac{\partial U_r}{\partial r}   &  \frac 1r\frac{\partial U_r}{\partial \theta} -\frac{U_\theta}{r}    &     \frac{\partial U_r}{\partial z} \\[1em]                
  \frac{\partial U_\theta}{\partial r} &  \frac 1r\frac{\partial U_\theta}{\partial \theta} + \frac{U_r}{r}  &   \frac{\partial U_\theta}{\partial z} \\[1em]                 
  \frac{\partial U_z}{\partial r}   &  \frac 1r\frac{\partial U_z}{\partial \theta}   &     \frac{\partial U_z}{\partial z} \\                  
                             \end{disarray}\right )_{(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z)}
%\qquad
\Vec{\rm rot}\ \vec U = \left ( \begin{disarray}{c}
    \frac 1r\left (\frac{\partial U_z}{\partial \theta}- \frac{\partial (r U_\theta)}{\partial z}\right)\\[1em]
    \frac{\partial U_r}{\partial z}-\frac{\partial U_z}{\partial r}\\[1em]
    \frac 1r\left (\frac{\partial (rU_\theta)}{\partial r}- \frac{\partial U_r}{\partial \theta}\right)\\                          
                                \end{disarray}\right )_{(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z)}$$

$$\Vec{\rm div}\ \uuline{\sigma}= \left ( \begin{disarray}{c}
    \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r}+\frac 1r\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial z}+\frac {\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}r   \\[1em]
    \frac{\partial \sigma_{\theta r}}{\partial r}+\frac 1r\frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial z}+\frac {2\sigma_{\theta r}}r   \\[1em]
    \frac{\partial \sigma_{zr}}{\partial r}+\frac 1r\frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}+\frac {\sigma_{zr}}r   \\[1em]
                               \end{disarray}\right )_{(\vec u_r,\vec u_\theta,\vec u_z)}
$$
%\subsection{Tableau des ajustements ISO\label{ajustementsISO}}


%A FAIRE





\subsection{Abaque de Moody}




\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=17cm,angle=0]{abaque_moody}
\end{center}
\caption{Abaque de Moody (où $\Delta p$ est la perte de charge, $\xi$ le coefficient de perte de charge régulière, $Re$ le nombre de Reynolds, $d$ le diamètre du tube, $l$ la longueur du tube, $\mu$ la viscosité dynamique, $V$ la vitesse du fluide, $\rho$ la masse volumique et $\varepsilon$ la rugosité des parois).}
\label{abaque_moody}
\end{figure}


\end{document}


\begin{figure}[!hbt]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm,angle=0]{}
\end{center}
\caption{.}
\label{}
\end{figure}


\begin{figure}[!!hbt]
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{}
\caption{.\label{}}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[width = \linewidth]{}
\caption{.\label{}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{figure}
